تعریف کامل انواع خازن ها

یک خازن به جزئی گفته می‌شود که وظیفه آن ذخیره بار و در نتیجه انرژی الکتریکی است. خازن‌ها از نظر ظاهر و اندازه متفاوت هستند اما مکانیزم کارکرد آن‌ها یکسان است. اصول کارکرد خازن به این صورت است که دو ناحیه با بار مخالف در معرض یکدیگر قرار می‌گیرند. دو بار مخالف، میدانی الکتریکی را ایجاد می‌کنند که در خود انرژی الکتریکی را ذخیره کرده و می‌توان در صورت لزوم از آن استفاده کرد. در شکل زیر میدان ناشی از دو بار با اندازه برابر و علامت مخالف نشان داده شده است.

خازن‌ها کاربرد بسیاری در صنعت الکترونیک دارند. مهم‌ترین استفاده از آن‌ها به عنوان فیلتر کننده فرکانس‌ و ذخیره‌ کننده بار‌های الکتریکی در مدار‌های الکتریکی است.

زمانی که یک خازن در حالت تعادل الکتریکی قرار دارد،‌ هیچ‌یک از صفحات آن دارای بار الکتریکی نیستند. وقتی که آن را شارژ کنیم، بار الکتریکی Q میان صفحات جابجا می‌شود. این جابجایی منجر به باردار شدن یک صفحه به اندازه Q+ و صفحه دیگر به اندازه Q- خواهد شد. با توجه به اینکه با دو صحفه باردار مواجه هستیم، بنابراین می‌توان یک اختلاف پتانسیل برای آن تعریف کرد. توجه داشته باشید که در ادامه این اختلاف پتانسیل را با ΔV نشان خواهیم داد. هم‌چنین بدیهی‌ است که بار خالص موجود در یک خازن همواره برابر با صفر است و این تنها توزیع بار است که منجر به ایجاد اختلاف پتانسیل می‌شود.

در شکل زیر شماتیکی از ساده‌ترین نوع خازن نشان داده شده است. در این نوع از خازن از دو صفحه رسانای موازی استفاده شده که مساحت هرکدام از آن‌ها برابر با A است و با فاصله d از یکدیگر قرار گرفته‌اند.

آزمایشات نشان می‌دهند که مقدار بار Q ذخیره شده در خازن با اختلاف پتانسیل ΔV دو صفحه رابطه‌ای خطی دارد. بنابراین مقدار بار ذخیره شده در خازن را می‌توان در قالب فرمول زیر بیان کرد:

در رابطه بالا C را تحت عنوان «ظرفیت خازن» (Capacitance) می‌شناسند. از نظر فیزیکی، این ضریب نشان دهنده میزان توانایی خازن در ذخیره بار الکتریکی است. واحد اندازه‌گیری ظرفیت در سیستم SI فاراد است که با F نشان داده می‌شود. در حقیقت ا فاراد معادل با مقدار زیر است.

 

معمولا ظرفیت خازن‌ها از مرتبه پیکوفاراد تا میلی فاراد است. ۱ پیکوفاراد برابر با ^۱۲-۱۰ فاراد در نظر گرفته می‌شود. در مدارات الکتریکی نیز از دو خط موازی به‌منظور نشان دادن محل خازن استفاده می‌شود. البته حالت‌های مختلفی از نشان دادن خازن در یک مدار وجود دارد. در شکل زیر دو روش مرسوم جهت نشان دادن خازن رسم شده.

نحوه محاسبه ظرفیت خازن

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، مهم‌ترین مشخصه هر خازن ظرفیت آن است. از این رو در این قسمت نحوه بدست آوردن ظرفیت خازن را با استفاده از مثال توضیح خواهیم داد.

مثال ۱: خازنی با دو صفحه موازی

مطابق با شکل زیر، دو صفحه تخت را تصور کنید که مساحت سطح هرکدام از آن‌ها برابر با A و فاصله آن‌ها برابر با d باشد. همان‌گونه که در شکل نیز مشخص شده، صفحه بالا دارای بار Q+ است و صفحه پایین بار Q- را در خود دارد.

می‌توان با استفاده از یک باتری، حالت توصیف شده را ایجاد کرد. در حقیقت باتری اختلاف پتانسیلی در دو سر خازن ایجاد می‌کند که منجر به جداسازی بارها از یکدیگر می‌شود. هدف ما محاسبه ظرفیت خازن مفروض است. به‌منظور یافتن ظرفیت C، در ابتدا بایستی میدان الکتریکی بین دو صفحه را تحلیل کنیم. توجه داشته باشید که یک خازن واقعی دارای اندازه‌ای محدود است. بنابراین خطوط میدان الکتریکی در لبه آن به صورت خط راست نخواهند بود. در حقیقت میدان الکتریکی را نمی‌توان در نزدیکی لبه صفحات فقط به صورت خطوط راست تصور کرد. به این پدیده «اثر لبه» (Edge Effect) گفته می‌شود. در شکل بالا نیز مشاهده می‌کنید که میدان الکتریکی در نزدیکی لبه بصورت منحنی در آمده است. این انحنا همان اثر لبه را نشان می‌دهد.

توصیفات بالا مربوط به حالت واقعی است. این در حالی است که به‌منظور استخراج فیزیک خازن، مطابق با شکل ۱، میدان را بصورت خطوطی راست در نظر می‌گیریم که کاملا بین صفحات قرار گرفته‌اند. برای ایجاد چنین شرایطی دو صفحه موازی را فرض کنید که روبروی هم قرار گرفته و طول آن‌ها بینهایت است. چگالی سطحی الکتریکی این دو صفحه را برابر با σ فرض کنید. قانون گاوس در نزدیکی این دو صفحه را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

سطح گاوسی را مطابق با شکل زیر به نحوی در نظر بگیرید که در آن سطحی به مساحت ‘A از صفحه مثبت را در بر گیرد. (برای درک بهتر به شکل زیر توجه کنید).

شکل ۱

با توجه به سطح گاوسی در نظر گرفته شده، میدان الکتریکیِ E میان دو صفحه برابر است با:

با بدست آمدن میدان الکتریکی می‌توان اختلاف پتانسیل دو صفحه را نیز یافت. اگر به یاد داشته باشید در این‌جا نیز می‌توان با استفاده از میدان الکتریکی میان دو صفحه، اختلاف پتانسیل بین آن‌ها را نیز بدست آورد. در نتیجه با توجه به مفاهیم عنوان شده داریم:

توجه داشته باشید که در رابطه بالا مسیر انتگرال‌گیری از صفحه مثبت به سمت منفی در نظر گرفته شده است. در تمامی این مسیر بردار دیفرانسیلی جابجایی و بردار میدان الکتریکی هم‌جهت هستند. بایستی بدانید که جهت میدان الکتریکی همواره از پتانسیل بیشتر به سمت پتانسیل کمتر است (_–V₊ > V)؛ بنابراین به‌منظور محاسبه ظرفیت خازن تنها از اندازه اختلاف پتانسیل استفاده می‌کنیم و علامت آن مهم نیست. در نتیجه اختلاف پتانسیل میان این دو صفحه برابر است با:

 

در بالا عنوان کردیم که ظرفیت یک خازن برابر است با  مقدار باری که با اعمال اختلاف ولتاژ ۱ ولت بین دو صفحه جابجا می‌شود. بنابراین ظرفیت خازن در این حالت با استفاده از رابطه زیر قابل توصیف است.

همان‌طور که از رابطه بالا نیز برداشت می‌شود، ظرفیت یک خازن تنها به ویژگی‌های فیزیکی آن وابسته است. برای نمونه در حالتی که دو صفحه تخت وجود داشته باشد، این پارامتر به مساحت سطح دو صفحه (A) و هم‌چنین فاصله آن‌ها (d) مرتبط است. بنابراین هر‌چه فاصله دو صفحه کمتر و یا مساحت آن‌ها بیشتر باشد، خازن ظرفیت بیشتری خواهد داشت.

مثال ۲: خازن استوانه‌ای

مطابق با شکل زیر استوانه‌ای به شعاع a را تصور کنید که توسط استوانه‌ای توخالی به شعاع داخلی b احاطه شده است. طول هر دو استوانه را برابر با L فرض کنید که بسیار بسیار از a-b بزرگ‌تر نیز در نظر گرفته شده (L>>a-b). با توجه به این فرض، می‌توان از اثر لبه در این خازن نیز صرف‌ نظر کرد.

اگر این خازن را به اختلاف پتانسیل ΔV متصل کنیم، باری به اندازه Q+ روی سطح داخلی و Q- روی سطح خارجی قرار می‌گیرد. با این فرض ظرفیت این خازن چقدر است؟

مطابق با مثال قبل در این مسئله نیز بایستی در ابتدا اندازه میدان الکتریکی را بین دو صفحه بدست آوریم. با توجه به تقارن مسئله، سطحی گاوسی را تصور می‌کنیم که طول آن l و بسیار کم‌تر از L است. مطابق با شکل ۲ شعاع سطح گاوسی را نیز برابر با r فرض می‌کنیم که اندازه آن بین a و b قرار گرفته. در نتیجه، میدان الکتریکی بین دو صفحه را می‌توان با استفاده از قانون گاوس و به شکل زیر بدست آورد.

در رابطه بالا λ معرف چگالی بار طولی استوانه است که به صورت λ=Q/L تعریف می‌شود. توجه داشته باشید که میدان الکتریکی E تنها در فاصله a تا b وجود دارد. با توجه به میدان بدست آمده، اختلاف پتانسیلی که بین دو صفحه وجود دارد را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

در این انتگرال‌گیری نیز مشابه مثال قبل،‌ از صفحه مثبت به سمت صفحه منفی حرکت می‌کنیم. با داشتن بار Q و اختلاف پتانسیل V ظرفیت خازن استوانه‌ای را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

با توجه به رابطه بالا مشاهده می‌کنیم که در این حالت نیز، ظرفیت خازن فقط به ویژگی‌های هندسی وابسته است.

مثال ۳: خازن کروی

برای مثال سوم، مطابق شکل زیر دو پوسته کروی را  تصور کنید که بار‌های Q+ و Q- را در خود نگه داشته‌اند. بار‌های الکتریکی در این دو پوسته به صورت کاملا یکنواخت توزیع شده‌اند.

شکل ۲

مطابق شکل بالا سطح گاوسی را به صورت کره‌ای به شعاع r فرض کنید که اندازه آن عددی بین a و b است. میدان الکتریکی نیز تنها در این ناحیه وجود دارد، بنابراین می‌توان قانون گاوس را به صورت زیر بیان کرد:

با توجه به رابطه بالا میدان الکتریکی برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

با بکارگیری میدان بدست آمده اختلاف پتانسیل میان دو پوسته برابر است با:

 

نهایتا ظرفیت C برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

در این حالت نیز ظرفیت C فقط تابعی از هندسه خازن بدست آمده است. بایستی بدانید که اگر طول a را در رابطه بالا به بینهایت میل دهیم ظرفیتی خازنی بدست می‌آید که تنها از یک سطح باردار تشکیل شده. بنابراین ظرفیتی خازنی تک صفحه‌ای برابر است با:

از این رو ظرفیت خازنِ ناشی از یک پوسته‌ کروی برابر است با:

مجموعه‌ای از خازن‌ها در یک مدار

یک خازن می‌تواند توسط یک باتری که در اختلاف پتانسیل V∆ قرار گرفته، شارژ شود. در شکل زیر شماتیک فرآیند شارژ شدن خازن نشان داده شده است.

اتصالات بین باتری و خازن منجر به ذخیره شدن بار Q± روی صفحات می‌شود. صفحه‌ای که به قطب مثبت باتری متصل است، بار Q+ و صفحه متصل به قطب منفی، بار Q- را در خود ذخیره می‌کنند. در حقیقت باتری نقش یک پمپ الکتریکی را ایفا می‌کند که وظیفه‌ آن جابجایی بارهای Q از یک صفحه به صفحه دیگر است.

در حالت کلی خازن‌ها را می‌توان به دو صورت در مدار‌های الکتریکی قرار داد که در ادامه به آن‌ها اشاره می‌کنیم.

خازن‌های موازی

مطابق شکل زیر تصور کنید که خازنی با ظرفیت C₁ و بار Q₁ به خازنی دیگر با ظرفیت C₂ و بار Q₂ متصل شده.

صفحات سمت چپ خازن‌ها به پایه مثبت باتری متصل شده‌اند؛ بنابراین هر دوی این صفحات دارای پتانسیل الکتریکی یکسانی هستند. به‌طور مشابه صفحات سمت راست، به پایه منفی باتری متصل شده‌اند، از این رو این دو صفحه نیز از پتانسیل یکسانی برخوردار هستند. در نتیجه می‌توان گفت که اختلاف پتانسیل هر دو خازن با هم برابر است. بنابراین ظرفیت خازن‌ها را می‌توان بصورت زیر بیان کرد:

از طرفی می‌توان این دو خازن را با یک خازن معادل جایگزین کرد. اختلاف پتانسیل دو سر این خازن برابر با ΔV و بار آن را Q می‌نامیم. در این صورت می‌توان گفت:

بنابراین می‌توان با تقسیم بار الکتریکی به اختلاف پتانسیل دو سر خازن، ظرفیت خازن معادل را به صورت زیر بدست آورد.

رابطه بالا مربوط به حالتی است که دو خازن با یکدیگر موازی شده باشند. در حالت عمومی و زمانی که چندین خازن با یکدیگر موازی‌اند، ظرفیت خازن معادل آن‌ها را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

خازن‌های سری (متوالی)

دو خازن با ظرفیت‌های C₁ و C₂ را به نحوی در نظر بگیرید که در حالت اولیه بدون بار الکتریکی هستند. این دو خازن را بصورت متوالی و مطابق با شکل زیر به یکدیگر متصل می‌کنیم. از این رو پس از متصل کردن آن‌ها به باتری، اختلاف پتانسیل ΔV₁ و ΔV_۲ به دو سر آن‌ها اعمال می‌شود. صفحه سمت چپ خازن شماره ۱ به قطب مثبت باتری متصل شده و دارای بار Q+ می‌شود. به همین شکل صفحه سمت راست خازن شماره ۲ نیز به قطب منفی باتری وصل شده و بار Q- را در خود نگه خواهد داشت.

در این حالت به نظر شما بار صفحات داخلی این دو خازن چقدر است؟ همان‌طور که در بالا نیز بیان کردیم، هرگاه یک خازن به اختلاف پتانسیلی متصل شود، بار الکتریکی با اندازه‌ای یکسان و علامتی مخالف روی دو صفحه آن پخش خواهد شد. بنابراین در این مسئله نیز بار صفحات داخلی برابر با Q خواهد بود. در نتیجه بارِ صفحه سمت راست خازن شماره ۱ برابر با Q- و با صفحه چپ خازن شماره ۱ برابر با Q+ است. از این رو در یک کلام می‌توان گفت که بار تمامی صفحات برابر با Q است. با این فرضیات و مراجعه به شکل بالا اختلاف پتانسیل دو سر خازن ۱ و ۲ را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

از طرفی بدیهی است که اختلاف پتانسیل کل دو خازن برابر است با:

 

با جایگذاری بار الکتریکی و ظرفیت خازن‌ها در رابطه بالا داریم:

با حذف Q از رابطه بالا، مقدار C_eq به شکل زیر بدست می‌آید.

از این رو در حالتی که چندین خازن با یکدیگر سری شده باشند، می‌توان از رابطه زیر جهت محاسبه ظرفیت معادل آن‌ها استفاده کرد.

مثال 4

مطابق شکل زیر سه خازن با ظرفیت‌های C₁، C₂ و C₃ به یکدیگر متصل شده‌اند. ظرفیت معادل این خازن‌ها را بیابید.

همان‌طور که در شکل بالا نیز مشخص شده، خازن‌های C₁ و C₂ به شکلی موازی به یکدیگر متصل شده‌اند؛ بنابراین خازن معادل آن‌ها برابر است با:

در حقیقت پس از معادل‌سازی انجام شده در بالا، مدار معادل به شکل زیر در می‌آید.

در این مرحله C₁₂ با C₃ سری شده، بنابراین می‌توان خازن معادل C₁₂ و C₃ را به صورت زیر بدست آورد.

در نتیجه نهایتا می‌توان خازن معادل کل مدار را به شکل زیر بدست آورد.

در شکل زیر نحوه ساده شدن این مدار نشان داده شده است.

همانند این مثال می‌توان خازن‌ها را به شکل‌های مختلفی به یکدیگر متصل کرد.

انرژی ذخیره شده در خازن

همان‌طور که در مقدمه نیز بیان شد، می‌توان از خازن‌ها به‌منظور ذخیره انرژی الکتریکی استفاده کرد. مقدار انرژی ذخیره شده در خازن برابر با کار انجام شده برای شارژ آن است. مطابق با شکل زیر میدان الکتریکی با صرف انرژی، باری به اندازه dq+ را از یک صفحه جدا کرده و به صفحه دیگر منتقل می‌کند.

خازنی را تصور کنید که در حالت اولیه بدون بار است. در هر کدام از این صفحات بیشمار بار مثبت و منفی وجود دارد،‌ اما تعداد آن‌ها با یکدیگر برابر است، بنابراین بار‌های مذکور همدگیر را خنثی می‌کنند. این خنثی کردن به این معنی است که بار خالص مثبت یا منفی روی هیچ‌یک از صفحات وجود ندارد. مطابق با شکل بالا فرض کنید که شخصی بار‌ dq+ را از صفحه پایین به بالا منتقل می‌کند. پس از انجام این کار بار صفحه پایین برابر با dq- و صفحه بالا برابر با dq+ خواهد شد. پس از تکرار این فرآیند، نهایتا بار صفحه پایین برابر با q- و صفحه بالا برابر با q+ خواهد شد.

بنابراین فرض کنید در لحظه‌ای مشخص بار روی صفحه بالا برابر با q+ باشد؛ در نتیجه اختلاف پتانسیل میان دو صفحه برابر با |ΔV|=qC|ΔV|=qC خواهد بود. به‌منظور جابجایی باری به اندازه dq+، بایستی به اندازه dW=|ΔV|dqdW=|ΔV|dq کار انجام داد. اگر در حالت نهایی بار روی صفحه برابر با Q+ باشد، کار انجام شده در طی فرآیند برابر است با:

کار محاسبه شده در بالا، به‌صورت انرژی پتانسیل الکتریکی ذخیره شده در خازن ذخیره خواهد شد. بنابراین انرژی پتانسیل خازنی با بار Q، ظرفیت C و اختلاف پتانسیل ΔV برابر است با:

رابطه ۱

چگالی انرژیِ میدان الکتریکی

انرژی ذخیره شده در یک خازن را می‌توان به‌صورت انرژی ذخیره شده در میدانِ خازن تصور کرد. در حالتی که با خازنی با صفحات موازی مواجه هستیم، ظرفیت و اختلاف پتانسیل دو سر آن برابر است با:

با جایگذاری این مقادیر در رابطه ۱، انرژی ذخیره شده بر حسب میدان الکتریکی موجود در خازن، به شکل زیر بدست خواهد آمد.

اگر توجه داشته باشید، Ad حجم بین دو صفحه را نشان می‌دهد. از این رو می‌توان با تقسیم رابطه بالا به حجم میان دو صفحه خازن، به مقداری تحت عنوان چگالی انرژی الکتریکی دست یافت.

همان‌طور که از رابطه بالا معلوم می‌شود، u_E یا همان چگالی انرژی، با توان دوم میدان الکتریکی رابطه‌ای مستقیم دارد. بنابراین مثلا با دو برابر کردن میدان الکتریکی چگالی انرژی الکتریکی ۴ برابر خواهد شد.

 

مثال 5: چگالی انرژی الکتریکی هوای خشک

هوای خشک توانایی عایق بودن خود را در میدان E_b=3×10^۶ V/m از دست می‌دهد. چگالی انرژی الکتریکی در این میدان چقدر است؟

با جایگذاری مقادیر ضریب گذردهی مربوط به هوای خشک و میدان ارائه شده در صورت مسئله، در رابطه مربوط به چگالی میدان الکتریکی، داریم:

مثال 6: انرژی ذخیره شده در پوسته کروی

پوسته‌ای کروی با بار Q و شعاع a را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. انرژی ذخیره شده در پوسته مفروض چقدر است؟

 میدان ناشی از پوسته کروی را برابر با مقدار زیر بدست آوردیم.

از این رو چگالی انرژی الکتریکی ناشی از این میدان برابر است با:

با بدست آمدن چگالی میدان، می‌توان با انتگرال‌گیری از آن، به کل انرژی ذخیره شده در میدان مفروض دست یافت. بدین منظور در ابتدا پوسته‌ای دیفرانسیلی را به ضخامت dr فرض می‌کنیم. حجم این پوسته برابر با dV=4πr²dr خواهد بود. نهایتا با انتگرال‌گیری رابطه بالا روی این جزء حجم،‌ داریم:

در رابطه بالا V=Q4πϵ0aV=Q4πϵ0a برابر با پتانسیل الکتریکی در سطح پوسته است. ما می‌توانیم ثابت کنیم که انرژی ذخیره شده در میدان برابر با کار انجام شده جهت باردار کردن پوسته به اندازه Q است. برای محاسبه کار مذکور فرض کنید که پوسته در لحظه مشخصی بار q را در بر دارد. پتانسیل ناشی از این بار برابر با V=q4πϵ0aV=q4πϵ0a بدست می‌آید. از این رو کار جزئی انجام شده جهت اضافه کردن بار dq به سیستم، برابر با dW=Vdq است؛ بنابراین می‌توان از dW در بازه ۰ تا Q انتگرال‌گیری کرد و کار لازم جهت قرار دادن بار Q روی پوسته را به شکل زیر بدست آورد.

در آینده به مفهومی تحت عنوان «دی‌الکتریک» (Dielectric) خواهیم پرداخت که با استفاده از آن می‌توان ظرفیت خازن‌ها را افزایش داد.